* Modéliser à l'aide d'une loi binomiale

Exercice 1

Cinq amis postulent un emploi de cadre dans une entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité qu'ils soient tous recrutés est égale à 0,07.
On désigne par  `X` la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq amis .

1. Justifier que  `X` suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
2. Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à  `10^(-3)` près.

Exercice 2

Un magasin vend des moteurs électriques tous identiques. Une étude statistique du service après-vente a permis d’établir que la probabilité qu’un moteur tombe en panne pendant la première année d’utilisation est égale à 0,12.
Une entreprise achète 20 moteurs électriques dans ce magasin. On admet que le nombre de moteurs vendus dans ce magasin est suffisamment important pour que l’achat de 20 moteurs soit assimilé à 20 tirages indépendants avec remise.
Les résultats seront arrondis à  `10^(-3)` près.

1. Quelle est la probabilité que deux moteurs exactement tombent en panne durant la première année d’utilisation ?
2. Quelle est la probabilité qu’au moins un des moteurs tombe en panne au cours de la première année d’utilisation ?

Exercice 3

On considère un questionnaire comportant cinq questions. Pour chacune des cinq questions posées, trois propositions de réponses sont faites, une seule d'entre elles est exacte. Un professeur demande à ses 28 élèves de répondre au hasard à chaque question de ce questionnaire. On note  `X`  le nombre d'élèves n'ayant aucune réponse exacte.

1. Justifier que  `X`  suit une loi binomiale de paramètres  `n=28`  et  `p=32/243` .
2. Calculer la probabilité, arrondie à  `10^(-2)` , qu'au plus un élève n'ait fourni que des réponses fausses.

Exercice 4

Une entreprise de location de bateaux de tourisme propose à ses clients deux types de bateaux : bateau à voile et bateau à moteur. Par ailleurs, un client peut prendre l’option PILOTE. Dans ce cas, le bateau, qu’il soit à voile ou à moteur, est loué avec un pilote. On admet que la probabilité qu’un client donné prenne l’option PILOTE est égale à 0,42. On considère un échantillon aléatoire de 40 clients. On note `X` la variable aléatoire comptant le nombre de clients de l’échantillon prenant l’option PILOTE.

1. On admet que la variable aléatoire `X` suit une loi binomiale. Donner sans justification ses paramètres.
2. Calculer la probabilité, arrondie à  `10^(-3)` près, qu’au moins 15 clients prennent l’option PILOTE.